NO2.베이즈 정리

A. 표본공간 분할

표본공간 분할은 전체 표본공간을 상호 배타적이며, 전체적으로 합쳤을 때 원래의 표본공간을 이루는 여러 사건들로 나누는 것입니다. 이는 복잡한 확률 문제를 간단한 부분으로 나누어 해결하기 위해 사용됩니다.

이론

표본공간을 \( A_1, A_2, \ldots, A_n \)과 같이 서로 겹치지 않는 사건들로 분할합니다. 이 사건들은 합쳤을 때 전체 표본공간을 이룹니다. 즉, \( A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n = S \)이고, \( A_i \cap A_j = \emptyset \) (모든 \( i \neq j )\)입니다

식

표본공간의 분할을 수학적으로 표현하면 다음과 같습니다:

$$ S = \bigcup_{i=1}^{n} A_i $$

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B. 전확률 공식

전확률 공식은 표본공간의 분할된 사건을 기반으로 사건 B의 확률을 계산합니다.

이론

사건 B의 확률은 표본공간의 분할을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

식

전확률 공식은 다음과 같이 표현됩니다:

$$ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B | A_i) $$

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C. 베이즈 정리

베이즈 정리는 사후 확률을 계산하는 데 사용되며, 어떤 사건 B가 발생한 후에 각 분할된 사건 ( A_i )의 확률을 업데이트 하는 방법을 제공합니다.

이론

사건 B가 주어졌을 때 사건 ( A_i )의 조건부 확률을 계산할 수 있습니다.

식

베이즈 정리는 다음과 같이 표현됩니다:

$$ P(A_i | B) = \frac{P(A_i) P(B | A_i)}{P(B)} $$

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베이즈 정리 (Bayes' Theorem) 상세 설명

베이즈 정리는 주어진 증거를 바탕으로 특정 가설의 확률을 업데이트하는 방법을 제공합니다. 즉, 어떤 사건 B의 발생이 관측되었을 때, 우리가 관심을 가지는 사건 A의 확률을 재평가하는 데 사용됩니다.

베이즈 정리의 이해

베이즈 정리는 다음과 같이 표현됩니다:

$$
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}
$$

여기서:

• ( P(A|B) )는 사건 B가 발생한 상태에서 사건 A가 발생할 조건부 확률입니다.
• ( P(B|A) )는 사건 A가 발생했을 때 사건 B가 발생할 조건부 확률입니다.
• ( P(A) )는 사건 A의 사전 확률입니다.
• ( P(B) )는 사건 B의 사전 확률입니다.

예시

예를 들어, 어떤 질병을 진단하기 위한 검사가 있을 때, 베이즈 정리는 다음과 같이 적용될 수 있습니다:

• ( P(질병|양성) ): 검사 결과가 양성일 때 실제로 질병에 걸릴 확률
• ( P(양성|질병) ): 실제로 질병에 걸린 사람이 검사에서 양성 결과를 받을 확률
• ( P(질병) ): 전체 인구 중에서 해당 질병에 걸릴 사전 확률
• ( P(양성) ): 전체 인구를 대상으로 했을 때 양성 결과를 받을 확률

이 때 ( P(양성) )은 전확률 공식을 사용하여 모든 가능한 원인(예: 질병에 걸린 경우와 걸리지 않은 경우)에 대한 확률의 합으로 계산될 수 있습니다.

다른 베이즈 정리의 예시와 계산

베이즈 정리를 이용하여 사건 A의 확률을 업데이트하는 예시를 살펴보겠습니다.

우리가 가진 정보는 다음과 같습니다:

• 사건 \( A \)가 발생했을 때, 세 가지 상황 \( B_1, B_2, B_3 \)에 대한 조건부 확률:

  • \( P(B_1|A) = 0.5 \)
  • \( P(B_2|A) = 0.3 \)
  • \( P(B_3|A) = 0.2 \)

• 세 가지 상황에 대한 사전 확률:

  • \( P(B_1) = 0.1 \)
  • \( P(B_2) = 0.7 \)
  • \( P(B_3) = 0.2 \)

베이즈 정리에 따라 사건 \( A \)의 확률은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$$
P(A) = P(B_1) \cdot P(A|B_1) + P(B_2) \cdot P(A|B_2) + P(B_3) \cdot P(A|B_3)
$$

$$
P(A) = 0.1 \cdot 0.5 + 0.7 \cdot 0.3 + 0.2 \cdot 0.2
$$

$$
P(A) = 0.05 + 0.21 + 0.04
$$

$$
P(A) = 0.3
$$

이 결과를 통해, 주어진 조건들을 바탕으로 사건 \( A \)의 확률을 업데이트하고 사후 확률을 계산할 수 있습니다. 최종적으로 사건 \( A \)의 확률은 0.3 또는 30%로 계산됩니다.

베이즈 정리의 응용

베이즈 정리는 의사결정, 기계학습, 통계학 등 다양한 분야에서 응용됩니다. 예를 들어, 스팸 필터는 베이즈 정리를 사용하여 특정 이메일 메시지가 스팸일 확률을 계산합니다.